Part (a)

i1 = 
      Integrate[(Subscript[λ, 3]) (E^(-(Subscript[λ, 3]) (Subscript[x, 3]))), {(Subscript[x, 3]), 
          (Subscript[x, 2]), ∞}, 
        Assumptions -> Re[(Subscript[λ, 3])] > 0]

i2 = 
      Integrate[(Subscript[λ, 2]) (E^(-(Subscript[λ, 2]) (Subscript[x, 2]))) i1, {(Subscript[x, 2]), 
          (Subscript[x, 1]), ∞}, 
        Assumptions -> Re[(Subscript[λ, 2]) + (Subscript[λ, 3])] > 0]

i3 = 
      Integrate[ (Subscript[λ, 1]) (E^(-(Subscript[λ, 1]) (Subscript[x, 1]))) i2, {(Subscript[x, 1]), 
          0, ∞}, 
        Assumptions -> 
          Re[(Subscript[λ, 1]) + (Subscript[λ, 2]) + (Subscript[λ, 3])] > 0]

Part (c)

i1 = 
      Integrate[(Subscript[λ, 1]) (E^(-(Subscript[λ, 1]) (Subscript[x, 1]))), {(Subscript[x, 1]), 0, 
          (Subscript[x, 2])}]

i2 = 
      Integrate[(Subscript[λ, 2]) (E^(-(Subscript[λ, 2]) (Subscript[x, 2]))) i1, {(Subscript[x, 2]), 
            0, m}] // Expand